Problema di Cauchy

In matematica, il problema di Cauchy consiste nel trovare la soluzione di un'equazione differenziale di ordine ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle f(x,y(x),y'(x),y''(x),\dots ,y^{n}(x))=0}$

tale che soddisfi le condizioni iniziali:

${\displaystyle y(a)=y_{0}}$

${\displaystyle y'(a)=y_{1}}$

${\displaystyle y''(a)=y_{2}}$

${\displaystyle \dots }$

${\displaystyle y^{n-1}(a)=y_{n-1}}$

Il teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy dimostra che la soluzione esiste ed è localmente unica, se ${\displaystyle f}$ rispetta opportune ipotesi. È sempre possibile ridurre un problema di ordine ${\displaystyle n}$ ad un sistema di ${\displaystyle n}$ equazioni differenziali ordinarie, ovvero di ordine 1, ponendo:

${\displaystyle z_{1}(x)=y(x)}$

${\displaystyle z_{2}(x)=z_{1}'(x)=y'(x)}$

${\displaystyle z_{3}(x)=z_{2}'(x)=y''(x)}$

${\displaystyle \dots }$

${\displaystyle z_{n}(x)=z_{n-1}'(x)=y^{n-1}(x)}$

Affrontare un problema di Cauchy richiede solitamente di studiare la forma della frontiera del dominio di definizione dell'equazione e di determinare una soluzione che soddisfi le condizioni al contorno di Cauchy.